정상시계열(안정적시계열)검증1: Random Walk

 

1. 정상성 검증

 

 

시계열 분석을 할 때 제일 먼저 해야 할 것이 기초 기술통계를 구해 정규분포를 만드는 작업입니다. 통상 왜도나 첨도를 구하고 Log 치환을 합니다.

 

그 다음 해야 할 일이 연구 대상인 시계열 변수가 정상시계열인지 아니면 비정상시계열인지 판단하는 일입니다.

 

원 변수가 비정상 시계열이면 일차 차분해서 차분한 변수가 정상시계열로 변하는지 관찰하는 것입니다.

 

이때 가장 많이 쓰는 방법은 ACF, PACF plot을 그리고, 그리고 통계적으로 엄밀하게 하기 위해 ADF라는 검증방법을 쓰는 것입니다. 아래 그림을 참조하시기 바랍니다.

 

 

 

부동산시장수익률	D1.부동산시장수익률

 

 

 

<표 47> 부동산시장수익률과 D1.부동산시장수익률 ADF 검증

시계열	Z(t)	1% 기각역	5% 기각역	10% 기각역	근사 p 값
부동산시장수익률	-2.014	-3.544	-2.909	-2.590	0.281
D1.부동산시장수익률	-3.086	-3.545	-2.910	-2.590	0.028*

* p<.1, ** p<.05, *** p<.01

 

ACF와 ADF 검증방법에 대해서는 다음에 좀 더 자세히 설명하고 오늘은 비정상시계열의 대표적인 프로세스인 random walk 프로세스에 대해 설명하겠습니다.

 

 

2. drift가 없는 임의행보

 

다음의 임의행보(random walk) 수식을 한번 보죠.

 

Y(t)=Y(t-1)+e(t)

 

오른쪽의 오차항 e(t)가 없다고 생각하면

 

Y(t)=Y(t-1)

 

 

주의: 위 모형의 의미는 오늘 여러분 아파트 가격 Y(t)는 1분기 전의 아파트 가격 Y(t-1)과 똑 같고, 오늘의 삼성전자 주가 Y(t)는 어제 삼성전자 주가 Y(t-1)과 같다는 말이 아닙니다.

 

Y(t)가 정규분포를 한다고 가정하면 위 식의 의미는 오늘 아파트 가격의 평균과 표준편차는 1분기 전의 아파트가격 Y(t-1)의 평균과 표준편차와 같고, 오늘의 삼성전자 주가 Y(t)의 평균과 표준편차는 어제 삼성전자 주가 Y(t-1)의 평균과 표준편차와 같다는 말입니다.

 

 

즉, Y(t)는 기본적으로 white noise process, 백색잡음의 성격을 가지고 있습니다.

 

그런데 위 식처럼 이 백색잡음 프로세스에 오차항을 더하면 어떻게 변할까요? 완전히 다른 프로세스가 됩니다.

 

Y(t)=Y(t-1)+e(t)

=Y(t-2)+e(t-1)+e(t)

=Y(t-3)+e(t-2)+e(t-1)+e(t)

=Y(0)+∑e(t)

 

e(t)의 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포이므로 마지막의 ∑e(t)는 평균이 0 이고 표준편차도 t인 프로세스가 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉. 이 프로세스는 시간에 관계없이 평균은 계속 0이지만 변동, 즉 표준편차나 분산은 시간이 갈수록 급속도록 증가해 무한대로 접근합니다.

 

그러나 일정 시점에서는 평균은 0, 분산은 유한한 프로세스가 됩니다.

 

 

프로세스가 정상시계열, 안정시계열이 되려면 시간에 관계없이 평균과 표준편차가 일정해야 하고, 자기상관은 오로지 시차에만 영향을 받아야 합니다(정상시계열의 정의)

 

 

따라서 백색잡음 프로세스에 오차항을 더한 위의 프로세스는 정상시계열이 아닙니다.

 

 

2. 차분프로세스

 

위의 프로세스를 한번 차분해 볼까요.

 

Y(t)=Y(t-1)+e(t)에서

 

Y(t)-Y(t-1)=e(t)

 

 

white noise, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정상시계열이 됩니다.

 

즉, random walk(임의행보) 프로세스는 비정상시계열에서 차분을 하면 정상시계열로 변하는 대표적인 프로세스임을 확인했습니다.