공적분관계1

 

시계열 회귀분석에는 두 가지 방법이 있다고 했습니다.

 

하나는 정상시계열로 변환하여 회귀분석하는 방법이 있고, 또 하나는 비정상시계열이라도 공적분(cointegration) 관계가 있으면 비정상시계열 변수 그대로 사용할 수 있습니다.

 

현실에서는 우선 공적분 관계가 있는지 확인하고 공적분관계가 있으면 바로 원 변수를 가지고 회귀분석을 합니다. 이때 stata에서는 vecm 명령어를 사용해야 합니다.

 

공적분을 이해하기 위해서는 우선 적분과정(integration process)라는 말을 이해를 해야 합니다. 그런데 개념은 별개 아닙니다.

 

 

원 변수가 정상시계열이면 I(0)이라고 표시하고 원 변수가 비정상시계열인데 1차 차분한 자료가 정상시계열로 바뀌면 I(1)으로 표시합니다. 2번 차분해야 정상시계열로 바뀌는 자료는 I(2)로 표시합니다.

 

통상 경제자료는 원변수는 비정상, 1차 차분한 변수는 정상시계열이 되는 I(1) 자료가 대부분입니다.

 

그럼 회귀분석 모형은 다음과 같은 유형으로 분류할 수 있습니다.

 

Y(t)=b0+b1*X(t)+e(t)

 

 

여기서 정상시계열은 시간에 따라 평균이 거의 변하지 않는 변수, 비정상시계열은 시간에 따라 평균이 뚜렷하게 변하는 변수로 생각하시면 됩니다.

 

 

1) Y(t)는 정상시계열, X(t)나 e(t)가 비정상시계열

 

이 경우는 모형 자체가 잘못 설정된 것입니다. 회귀식에서 왼쪽은 정상시계열인데 오른쪽은 비정상시계열일 수가 없습니다. 즉 왼쪽은 시간에 따라 평균 값이 거의 변하지 않는데 오른쪽은 시간에 따라 평균값이 상승하거나 하락하거나 해서 회귀식의 왼쪽과 오른쪽이 일치가 되지 않습니다.

 

2) Y(t), X(t), e(t) 모두 정상시계열

 

이 경우는 바로 회귀분석을 하면 됩니다. 그래서 Y(t), X(t), e(t)가 비정상시계열이면 1차 차분해서 정상시계열로 변환시켜 회귀분석하면 됩니다.

 

 

3) Y(t), X(t), e(t) 모두 비정상

 

위의 2번의 경우입니다. 1차 차분해서 회귀분석하면 됩니다.

 

 

4) Y(t), X(t)은 비정상, e(t)는 정상시계열일 경우입니다.

 

이 경우가 공적분 관계가 있는 경우입니다.

 

이 경우 1차 차분할 필요없이 vecm을 적용해서 그냥 회귀분석을 하시면 됩니다.

 

 

4번 공적분 관계가 있다는 것이 뭘 의미하는 것일까요.

 

 

Y(t)=b0+b1*X(t)+e(t)

 

e(t)=Y(t)-{b0+b1*X(t)}

 

여기서 오차항 e(t)가 정상시계열이기 때문에 왼쪽 Y(t)와 오른쪽 {b0+b1*X(t)}의 차이가 시간이 갈수록 계속 일정하다는 이야기입니다. 즉 장기균형 관계에 있다고 할 수 있습니다.

 

 

이 경우 종속변수 Y(t)와 독립변수 X(t)는 공적분 관계가 있다고 하고 앞의 계수 [1, -b0, -b1]을 공적분 계수라고 합니다.

 

 

 

그럼 위의 3)번 1차 차분해서 정상시계열로 만들어야 하는 경우와 4)번 공적분 관계가 있는 경우가 어떻게 다른지 예를 들어 이야기하겠습니다.

 

 

Y(t)는 부천 20평 아파트 가격이라 하고 X(t)는 강남의 20평 아파트 가격이라고 하죠.

 

현 시점에서 Y(t)와 X(t)의 관계는 다음과 같다고 하죠.

 

Y(t)=1억+0.25*X(t)+e(t)

 

e(t)=Y(t)-{1억+0.25*X(t)}

 

그럼 좌변 부천 20평 아파트 가격 Y(t)와 우변 1억+0.25*(강남 20평 아파트 가격)의 차이는 시간이 갈수록 어떻게 될까요.

 

 

우리의 경험상 시간이 갈수록 양변의 차이가 점점 커진다는 것을 알 수 있습니다. 즉 e(t)가 시간에 따라서 점점 커지기 때문에 e(t)는 정상시계열이 아닌 비정상 시계열입니다.

 

 

그럼 공적분 관계가 있는 경우, 즉 e(t)가 정상시계열인 경우의 예로서 뭐가 있을까요.

 

Y(t)를 부천 20평 아파트 가격이라고 하죠. X(t)는 김포 20평 아파트 가격이라고 하고요.

 

현재 Y(t)와 X(t)의 관계는 이렇다고 해보죠.

 

Y(t)=1억+1.2*X(t)+e(t)

 

e(t)=Y(t)-{1억+1.2*X(t)}

 

 

그럼 시간이 지나도 부천 20평 아파트 가격과 1억+1.2*김포 20평 아파트 가격의 차이는 거의 변함이 없을 겁니다. 특별한 개발 호재가 없다면요.

 

그럼 e(t)는 정상시계열이 되는 것이죠.

 

 

그럼 왜 이런 현상이 일어날까요.

 

만약 특정 시점에서 e(t)과 균형관계에서 심각하게 벗어났다고 해보죠. 즉, e(t)가 상당히 큰 양수값이 나왔다고 하죠.

 

그럼 다음 시점에서 e(t)값은 다시 낮아져 균형관계로 돌아가려는 교정작업을 한다고 보는 것입니다. 이게 오차 교정(error correction)이라 합니다.

 

 

이 과정은 다음에 다시 한번 자세히 쓰죠.