공적분2

 

지난번 공적분 글에서 다음과 같이 정리했습니다. 시계열 회귀모형

 

 

Y(t)=b0+b1*X(t)+e(t)

 

에서

 

X(t)와 Y(t)는 비정상 시계열이고

 

1)

 

오차항 e(t)가 정상 시계열이면 공적분 관계이고, 원 변수 X(t), Y(t)를 가지고 회귀분석을 할 수 있고

 

 

2)

 

오차항 e(t)가 비정상 시계열이면 Y(t), X(t), e(t)를 1차 차분하여 정상시계열로 변환한 다음 시계열 회귀분석을 실시한다.

 

 

이때 e(t)를 에러항이나 또는 시스템 외부에서 온 충격 이런 식으로 해석하는 것보다 두 개의 시계열 변수, 즉 Y(t)와 b0+b1*X(t)의 차이로 해석하는 것이 좋습니다.

 

지난번 공적분 글에서 든 예에서

 

하나의 Y(t)=부천의 20평 아파트 시세, X(t)=강남의 20평 아파트 시세라고 하면 2개의 시계열의 차이인 e(t)는 시간이 갈수록 커져가기 때문에 이 경우 e(t)는 비정상 시계열이고 따라서 공적분을 적용할 수 없습니다.

 

 

또 하나의 예로서 Y(t)=부천의 20평 아파트 시세, X(t)=김포의 20평 아파트 시세라고 하면 이 2개의 시계열의 차이 e(t)는 어느 정도 일정하다고 볼 수 있습니다.

 

만약 부천에서 조그만한 개발 건수가 있어 가격이 일시적으로 상승하면 e(t)는 균형에서 벗어나 양수의 값을 취합니다. 그럼 다음 시기의 외부충격 e(t+1)는 현재 외부 충격 e(t)보다 값이 낮을 확률이 매우 높습니다. 즉 e(t)는 균형에서 벗어나면 다시 균형으로 찾아가려는 mean-reverting 현상이 일어납니다. 이 과정을 오차 교정(error correction)이라고 합니다.

 

이 오차 교정 과정이 공적분관계식에서 구체적으로 서술이 되어야 합니다.

 

 

Y(t)=b0+b1*X(t)+e(t)

 

양쪽을 차분하면

 

∇Y(t)=b1*∇X(t)+u(t)

 

여기서 u(t)=∇e(t),

 

공적분관계가 성립하려면 위의 식에서 노골적으로 오차 교정항을 삽입시켜야 합니다. 즉,

 

∇Y(t)=b1*∇X(t)-a*e(t-1)+u(t)

 

여기서 a*e(t-1) 항을 오차교정항(error-correction term)이라 합니다.

 

1시점 전에 오차항 e(t-1)가 양수라면, 즉

 

e(t-1) = Y(t-1)-(b0+b1*X(t-1)) > 0

 

즉 (t-1) 시점에서 종속변수 Y(t-1)의 값이 균형보다 크면 t 시점에서 Y(t)는 (t-1) 시점보다 상대적으로 값이 작아져야 함. 그래서 균형을 찾아감.

 

따라서 a는 +값을 가져야 균형을 찾아갈 수 있음. a에 대해 가설검증을 하려면 먼저 e(t-1) 시계열 변수 값을 구하여야 함.

 

 

 

여기서 ∇Y(t), ∇X(t), e(t-1)는 변수 형태로 가질 수 있는데 e(t-1) 변수를 구하는데 문제가 있음. e(t-1)은

 

e(t-1) = Y(t-1)-(b0+b1*X(t-1))

 

인데 b0와 b1을 추정하는데 문제가 발생함. Y(t-1), X(t-1)는 비정상시계열 변수일 가능성이 높아 일반회귀분석으로 b0와 b1 추정을 정확하게 할 수 없음.

 

2 step procedure을 함. 먼저 공적분관계가 있는 경우 b의 OLS은 consistent 할 뿐 아니라 super-consistent 성격이 있음. T가 커져갈수록 빨리 모수 b에 접근함.

 

 

다음은 정상시계열과 비정상시계열 검증하는 stata 명령을 배움:DF와 ADF