잠재성장모형 모형선택

 

 

이번 글은 지난 글에서 나온 잠재성장모형에서 선형변화모형의 기울기 회귀계수가 어떻게 해서 나왔는지 구체적으로 한번 보여주고요.

 

그리고 구조방정식에서 자주 나오는 X2 검증 통계량이 어떻게 나왔는지 그리고 잠재성장모형에서 어떻게 이용되는지 보여주겠습니다. 좀 이론적인 내용이라 시간을 가지고 차분하게 읽어 주시면 좋겠습니다.

 

1. 선형변화모형의 기울기 회귀계수

 

지난번 시간에 선형변화모형의 모형식은

 

X(t)=b0+b1*t

 

리고 했습니다. 여기서 b1을 어떻게 추정하는지 보여주겠습니다.

 

X(t)은 시간 t에서 교우관계를 이야기한다고 생각하죠. 척도는 5점 척도로 하고요.

 

id	X(1)	X(2)	X(3)	1-2 변화율	2-3 변화율	변화율 평균
1	3.42	3.55	3.51	0.038	-0.011	0.013
2	2.89	3.14	3.47	0.086	0.115	0.095
...
100	3.78	3.46	3.51	-0.084	0.015	-0.035

 

1-2 변화율은 (X(2)-X(1))/X(1), 2-3 변화율은 (X(3)-X(2))/X(2)입니다.

 

이 계산을 한 후 각 학생들의 변화율 평균을 구한 다음 이 값을 다시 평균을 하면 됩니다. 그럼

 

학생1=b0+0.013*t

학생2=b0+0.095*t

학생100=b0-0.035*t

 

가 됩니다. 100명 학생의 기울기 회귀계수의 평균을 구하면 amos 결과물에 나오는 기울기 회귀계수가 나옵니다.

 

물론 이 계산은 기울기 회귀계수의 개념을 이야기한 것이지 amos 안의 정확한 계산을 이야기한 것은 아닙니다.

 

 

 

2. 구조방정식의 카이제곱 검증 통계량

 

 

카이제곱 검증 통계량은 LRT라는 검증 통계 방법론에서 나옵니다.

 

카이제곱=-2*log(max 단순모형/ max 복잡모형)

 

이렇게 구해지고

 

이때 자유도 df=(복잡모형의 모수 공간 차원-단순모형의 모수 공간 차원)

 

이렇게 됩니다.

 

가장 간단한 예로서

 

귀무가설 H0: u=0

대립가설 H1: u는 0이 아니다

 

이런 경우 이걸 모형으로 돌려 이야기하면

 

간단모형인 귀무가설 H0의 경우 모수 u는 0이라는 하나의 점, 0차원입니다. 이에 반해 복잡 모형은 u=R 즉 실수 공간 전체라는 1차원 공간이 됩니다. 따라서 차원의 차이는 1이고 그래서 카이제곱=-2*log(max 단순모형/ max 복잡모형)은 자유도가 1이 됩니다.

 

 

그럼 이걸 지난번 이야기한 잠재성장모형에서 모형선택 이야기를 해보죠.

 

지난번 예로서 저널에 실린 결과물입니다.

 

여기서 무변화 카이제곱은

 

귀무가설 H0 간단모형은 무변화모형,

대립가설 H1 복잡 모형은 포화모형

 

인 경우 우도비 검증 통계량입니다.

 

한편 선형변화 카이제곱은

 

귀무가설 H0 간단모형은 무변화모형,

대립가설 H1 복잡 모형은 포화모형

 

인 경우 우도비 검증 통계량입니다.

 

그래서 처음 문화적응 스트레스의 경우 무변화는 X2=34.450(***)으로 유의적으로 나왔기 때문에 대립가설 H1 즉 복잡모형(포화모형)을 선택해야 합니다.

 

선형변화에서는 X2=24.672(***)으로 유의적으로 나왔기 때문에 이 또한 선형변화보다 더 복잡한 모형을 선택해야 한다는 이야기입니다. 즉 2차 변화모형을 더 고려해야 한다는 것입니다.

 

이에 반해 자아존중감에서는 무변화는 유의적으로 나와서 무변화보다 더 복잡한 모형을 선택해야 하고, 이에 반해 선형변화모형은 카이제곱이 유의적으로 나오지 않았기 때문에 선형변화모형이 좋다는 이야기고 더 이상 복잡한 모형을 선택할 필요가 없습니다.

 

 

더 중요한 문제는 우리가 하고자 하는 것은 무변화모형을 선택할 것인지 아니면 선형변화모형을 선택할 것인지를 검증하는 것이지 복잡모형(포화모형)과 비교해서 선택하는 문제가 아닙니다.

 

즉, 원래 목적에 맞춰 검증하면

 

귀무가설 H0: 간단모형 무변화모형

대립가설 H1: 복잡모형 선형변화모형

 

이 가설을 검증해야 합니다.

 

==> 아래 수식 수정했습니다.

 

그럼

 

카이제곱=-2log(max 무변화모형/max 선형변화모형)

=-2(log(max 무변화모형)-log(max 선형변화모형))

=-2{(log(max 무변화모형)-log(max 포화모형))-{log(max(선형변화모형))-log(max(포화모형))}

=무변화모형 카이제곱-선형변화모형 카이제곱

 

이때 자유도는 이 카이제곱의 자유도=무변화모형 자유도-선형변화모형 자유도가 됩니다.

 

 

그래서 무변화 카이제곱에서 선형변화모형의 카이제곱을 뺀 카이제곱을 구한 다음 또 자유도도 무변화 자유도에서 선형변화자유도를 뺀 다음 이게 유의적인지 아닌지 p 값을 구해야 합니다. 이건 통계학 책 뒤 부분에 있는 표를 보고 하거나 아니면 R 프로그램 등을 이용해서 구해야 합니다.

 

가끔 좀 어려운 책이나 논문에서 이런 방식을 통해 무변화와 선형변화 중 어떤 모형을 선택할 지에 대해 검증하는 내용이 나옵니다. 물론 이론적인 설명은 대부분 생략되어 있지만요.

 

 

그러나 제 생각에서는 이렇게 복잡하게 하는 것보다 그냥 선형변화 모형에서 기울기 회귀계수가 유의적으로 나오는가 이것만 분석하면 될 거라 봅니다. 기울기 회귀계수가 유의적으로 나오면 선형변화모형을 택하면 되고, 유의적으로 나오지 않으면 무변화 모형을 택하시면 됩니다.

 

 

간혹 X2 검증과 이 기울기 회귀계수 검증과 결과가 일치하지 않을 수 있습니다. X2 검증에서는 선형변화모형을 선택하라고 나왔는데 기울기 회귀계수에서는 유의하지 않게 나온다든가 반대로 X2 검증에서는 무변화모형을 선택하라고 나오는데 기울기 회귀계수는 유의하게 나오는 경우도 있습니다.

 

이건 회귀분석에서 F 검증은 유의하지 않게 나오는데 회귀계수 t 검증은 유의하게 나오거나 F 검증은 유의하게 나오는데 회귀계수 t 검증은 모두 유의하지 않게 나오는 경우도 있습니다.

 

이런 것을 심사위원들이 지적하면 참 난감합니다. 검증방법론이 다르고 또 다중추론의 문제가 있는데 이걸 설명할 수도 없고요.