로또 당첨 가능성을 조금이라도 올릴 수 있을까요? 사기꾼들이 무슨 이상한 통계기법을 사용하여 올릴 수 있다고 하는데 다 사기입니다. 이론적으로는 불가능하다는 것이죠.
로또 숫자가 0-9까지 랜덤하게 나오지 않는 경우 로또 숫자가 나오는 기계적 과정을 알고 이 공학과정을 수식화하지 않는 이상 불가능합니다.
로또 숫자가 0-9까지 랜덤하게 나오는지 안 나오는지 알려면 지금까지 등장한 로또 숫자 번호의 분포를 그려 보면 됩니다. 경험분포(empirical distribution)라고 하는데 최근 몇 번의 로또 시행의 번호 분포만 그려 보면 됩니다. 이 분포가 0-9까지 유니폼(uniform)하게, 즉 0이 나올 백분율이 0.1, 1이 나올 백분율이 0.1,..., 이런식으로 나오자 않으면 이건 뭔가 랜덤하지 못하고 그러면 로또 당선 가능성을 올릴 약간의 기회가 생깁니다. 어떻게 할가요?
만약 0, 1, 2 세가지 숫자만 있다고 하죠.
1: 로또 숫자 뽑기(표본 추출 방법)
1)
먼저 기존의 나온 숫자를 조사해 경험분포 f(x)가 그립니다. 즉
f(0)=0.3,
f(1)=0.4,
f(2)=0.3
이렇다고 하죠. 무작위적으로 숫자가 나온 것이 아니죠. 랜덤하게 로또 숫자가 나왔다면 백분율이 전부 1/3=0.3333.. 이 되어야 하거든요.
2)
다음 단계는 누적분포 F(x)를 그립니다. 이건 각 백분율을 더하는 것입니다. 그럼
F(0)=0.3
F(1)=0.3+04=0.7
F(2)=0.3+0.4+0.7=1
이렇게 되는 것이죠. 더 정확하게는
F( x < 0)=0
F( 0<= x < 1)=0.3
F( 1<= x < 2)=0.7
F( 2<= x )=1
이렇게 그리면 0에서 1까지 값을 갖는 계단 함수(step function)가 됩니다.
3.
그 다음 0애서 1 사이에서 무작위 숫자를 뽑습니다. 이건 컴퓨터 프로그램이나 통계프로그램에서 가능합니다. SPSS에서도 가능합니다. Transformation 메뉴를 보시면 됩니다.
만약 무작위 숫자 u=0.914라고 나왔다면 x 값을 F(x)의 역함수를 통해 거꾸로 찾아갑니다.
즉,
x=F-1(u=0.914)=2
그럼 숫자 2를 택합니다. 다음에 나온 u가 0.128이면
x=F-1(u=0.128)=0
이런 식으로 수많은 시행을 하면 나중에 나온 x의 경험 분포를 그려보면 정확하게 원래 f(x)의 모양이 나옵니다. 이걸 어떻게 아냐고요? 증명은 한 줄이면 됩니다. 통계노트에 보시면 있습니다.
이렇게 무작위 숫자를 통해 누적확률분포의 역함수를 통해 거꾸로 찾아가 분포모양의 숫자를 생성시켜 방법을 inverse method(역함수 방법)라고 합니다.
2. 로또의 정치학
로또를 했을 때 분명히 손해입니다. 이 이야기는 기대되는 금액 E[X]가 투입한 금액 M 보다 작다는 것이죠. 그래야 로또 업자가 먹고 살죠. 그러나 사람들이 많이 하죠. 재미로 할 수도 있고, 노골적으로 한 방 노리고 할 수도 있죠.
기대되는 이익이 무한대인데도게임에 참가하지 않는 경우도 있습니다. 이 게임을 Petersburg 문제라고 합니다. 하여간...
사행업자는 기대되는 이익이 높으니까 어떻게 해서라도 사업을 하려고 합니다. 그러나 사행업이라는 사회적 비난, 여론 때문에 잘 안되죠. 그래서 이런 사행성 사업은 항상 이익을 공익사업에 쓴다고 광고를 합니다.
정치하는 사람들 입장에서는 일단 사행업자에게 세금을 뽑을 수 있죠. 그리고 일단은 고용창출이 되죠. 그래서 선호하는 것이죠. 더구나 정선같이 대규모 카지노를 만들면 건설업자로부터 뇌물과 또 불법 정치자금을 받을 수 있다는 것이죠. 또한 자기 아는 사람을 거기에 취직을 시켜줘 자신의 정치적 파워를 올릴 수 있고요.
부패도 후진국형과 선진국 형이 있습니다. 후진국 형은 현직에 있을 때 노골적으로 받아 먹는 것이고, 선진국형으로 갈수록 현직에 있을 때 봐주고 현직에 물러나서 합법적으로 받아 먹거나 힘을 쓰게 해주는 것이죠.
하여간 그 결과는 정선의 경우에서 보듯이 수 많은 사람들이 피폐해지죠. 가정이 파탄나고요.
3. 사행업자의 입장에서 보면 기대되는 이익이 있으니까 무조건 사업만 벌리면 잘 될까요?
기대되는 이익이 있어도 한 방에 날라갈 수 있습니다. 예를 들어 1등 하면 10억 준다고 약속했는데 전혀 예상외로 100명이 당첨될 수도 있다는 것이죠. 그럼 그만한 자금을 비축해 놓지 않은 이상은 망하는 것이죠. 이게 리스크 관리입니다. 나올 가능성은 매우 적지만 한번 터지면 망하는 경우이죠. 1등 당첨자의 수는 이론적으로 포아송 분포(Poisson 분포)를 따릅니다. 1등 당첨될 확률이 십만분의 1이고 , 만약 100만명이 로또를 샀다면 이때 1등 당첨될 사람의 수는 평균이 10인 포아송 분포를 하고 이론적으로 만명이 1등으로 당첨될 가능성이 있다는 것이죠. 소행성 충돌로 지구가 망할 확률?
우리나라 로또는 액수를 정해놓고 당첨자끼리 나눠가지죠, 아마. 그래서 이런 위험은 없을 겁니다. 은행에서 BIS 기준을 정하는 이유도 대출해준 기업이나 사람이 한꺼번에 파산할 경우를 대비해서입니다.