기대값, 마팅게일, SDE, Ito 적분, 금융공학

 

 

 

조건부 기댓값에 대해 계속 쓰고 있는데요. 또 거기에 관련해서 시그마-필드라는 매우 이론적인 것에 대해서 언급을 하고 있고요. 지금 이런 것을 하는 이유는 PET 프로젝트, 즉 병원에서 단층촬영할 때 통계기법이 이용되는데 거기에 대한 기초 작업으로서 쓰고 있습니다.

 

 

또 나중에 기회가 있으면 금융공학의 이론에 대해서 쓰겠지만 시그마-필드는 마팅게일이라는 좀 어려운 확률 개념과 관계가 있고요. 이게 또 금융공학에 많이 나옵니다.

 

 

금융공학을 이론적으로 공부하려면 확률미분방정식(stochastic differential equation)을 알아야 하고, 또 관련해서 이또 적분, 이또 lemma라는 것을 알아야 합니다. ito 라는 이름에서 알 수 있겠지만 일본사람 같죠. 확신은 못하겠지만. ito라는 사람이 ito 적분을 만든 것이 해방전후라고 합니다. 책에 보면 1943년이라고 되어 있네요. 일본 수학이 엄청나게 일짝 발달되었죠. 이 이론이 각광을 받게 된 것이 그 유명한 Balck & Scholes(1973)이 옵션 가격 결정 논문과 Merton(1973)의 수학젹 해석 논문 때문입니다. Merton과 Scholes 이 이 논문으로 노별경제학상을 받았고 Blsck은 그 당시 사망했다고 되어 있네요. 구글보니까. Schloes는 롱텀키피털매니지먼트(LTCM)이라는 투작회사를 만들었다가 말아먹었죠.

 

 

전에 인터넷에 SDE라는 아이디로 글 쓰는 친구가 있었는데 이게 확률미분방정식(SDE)의 약자입니다. 글쓰는 것 보니까 이쪽 공부를 하는 것 같으라고요. 원래 미분방정식은 잘 안풀립니다. 간단한거나 몇 가지 편법을 쓸 수 있는 것을 제외하고는 대부분 수치해석으로 해결을 해야 합니다. 거기에 또 확률이 더 들어가니 무지하게 골치 아프겠지요.

 

 

원래 시스템을 수학적으로 모형화할 때 우리같이 일반인은 원래 변수로서 모형화를 많이 합니다. 그러나 공학쪽의 사람은 원래 변수보다 이 변수들의 변화율 갖고 모형화를 많이 시도합니다. 이게 시스템을 표현하기가 더 좋다고 하네요. 이렇게 변화율을 가지고 수식화한 것이 미분방적식입니다.

 

 

그러나 금융공학쬭에 나오는 미분방정식은 몇 개 없습니다. 너무 쫄 필요없고요. 또 이 미분방정식을 풀려면 적분을 해야 하는데 여기서 ito 적분이 나옵니다. 즉 적분안에 확률변수, 정확하게 확률프로세스가 들어가 있는 모양입니다. 이것도 너무 쫄 필요가 없고요. 적분이라는데 고등학교 수학의 정의를 생각하면 결국 합이거든요. 구간을 계속 좁게 쪼개가면 즉 급수(series)가 되는 것이죠. 즉 확률변수의 합, 급수가 됩니다. 이것도 몇 개의 경우밖에 없습니다. 그래서 기초개념을 알고 잘 모르면 ito lemma을 외어 사용하시면 됩니다.

 

 

저도 수업은 들었습니다. 지도교수가 independent 수업을 해서요. 저 혼자 들은 것죠. 어영부영해도 학점은 잘 주니까요. 다른 한 사람은 경제학과 교수가 듣고요. 눈치를 보니까 경제학과 교수가 그 쪽 전공인데 수학이 약해 논문 쓰기가 힘든 것 같았습니다. 그래서 지도교수를 꼬신 것 같고요. 지도교수도 통계쪽은 비주류에서 비주류라 논문 실기도 힘들고 프로젝트 따오기도 힘들고 그런 상황이라 솔긱한 것 같았고요.

 

 

지도교수가 원래 수학, 물리 전공한 사람이라 이쪽도 실력이 매우 좋습니다. 컴퓨터도 전문가 수준이고요. 박사때 통계로 넘어온 사람이죠.

 

 

그 당시에는 저는 금융공학이 뭔지, 파생상품이 뭔지도 몰랐고요. 그래서 지금 이게 크게 문제될지도 몰랐죠. 원래 확률쪽은 너무 어려워 대학원때 포기를 하고 딴 쪽으로 방향을 돌렸는데 문제는 그 방향이 더 어려운 분야인지는 그 당시에는 몰랐죠. 하여간 그 당시 금융공학과 파생상품, 그리고 문제점을 인식했다면 그 당시 수업 들었을때 동기를 가지고 더 열심히 공부햇을텐데 그냥 어영부영했죠.

 

 

확률를 이론적으로 공부하려면 어느 정도 수학을 좀 할 줄 알아야 합니다. 위상수학, 실해석, 함수해석 같은 것 기초적인 지식이 있어야 합니다. 위상수학은 문크레스 책이 워낙 유명하니까 더 이상 소개할 필요가 없고요. 예제가 풍부해 위상수학 처음 공부하기 매우 좋은 책입니다.

 

 

수학과 확률을 한꺼번에 공부하시려면 Ash의 Real Analysis & Probability 책을 권하고요. 그 대신 빡세게 공부해야 합니다. 금융공학 이론을 공부하시려면 Thomas Mikosch의 Elementary Stochastic Calculus-with finance in View 라는 책을 권합니다. 4장에 금융공학에 어떻게 적용되는지 나오니까 앞부분 읽기 힘들면 뒤에 이 부분을 읽으면서 왔다 갔다 하시면 좀 쉽게 공부하실 수 있습니다. 여기에 가끔 쓰는 내용도 이 책을 중점적으로 해서 쓸 예정입니다.

 

 

그런데 왜 이런 것을 하는 것일까요. 예를 하나 들어보겠습니다.

 

 

일반적으로 성장을 나타내는 함수 중에서 지수함수를 많이들 사용합니다. 인구라든지, 방사능 같은 것에 많이 사용되죠. 지수함수는 미분한 함수와 일치하는 유일한 함수입니다. 즉 f(x)= df(x)/dx. 즉 Exp(t)를 미분하면 원래함수 Exp(t)가 됩니다. 이걸 이용하면 exp(ct)를 미분하면 c*exp(ct)가 됩니다. 그래서

 

 

c= {df(t)/dt} / f(t) = 일정 단위 기간 후 값 증가/원래 값

 

 

가 됩니다. 그래서 c는 성장률 이렇게 해석되는 것이죠. 적금같은 경우는 복리이자율이 되는 것이고요.

 

 

그래서 복리 이자가 붙은 원금 계산이나 일정 이자가 붙어 있는 채권의 가치는 통상

 

 

S(t)=S(0)*exp(ct)

 

 

이렇게 모형을 세운다는 것이죠. 여기서 c는 복리이자나 채권의 액면 이자율이죠.

 

이걸 이용해 주식가격도 모형을 만들 수가 있습니다. 주식의 평균 수익률을 c라고 하면

 

 

S(t)=S(0)* Exp(ct+ 변동에러항)

 

 

주식 수익률은 고정되어 있지 않으니까 에러항이 들어가야 합니다. 그러나 금융공학 책을 보면 위의 공식처럼 되어 있지 않고

 

 

S(t)=S(0)*Exp{(c-0.5시그마제곱)t+에러항}

 

 

이렇게 되어 있습니다. 갑자기 주식 평균 수익률 c에다가 이상한 -0.5*시그마제곱이 더 들어가 있는 것이죠. 이게 해석이 안된다는 것이죠. 이론책이 아닌 금융공학책을 보면 이게 불편추정량을 만들기 위해서 즉 교정항으로 들어가 있다고 되어 있습니다. 그러나 이런 말은 이론적인 말이 아닙니다. 꼭 불편추정량을 만들어야 하는 이유가 없는 것이거든요. 원래 이말은 다음과 같은 뜻입니다.

 

 

주가 수익률을 R이라고 하죠 그럼 E[R]=c입니다. 그러나 여기에 지수함수 변형을 하면

 

 

 

E[Exp(Rt)] = Exp(ct)

 

 

 

이렇게 되어야 하죠. 그런데 이렇게 되지가 않는다는 것이죠. 즉 불편추정량에다가 함수를 붙이면 이젠 이 함수의 불편주정량을 찾기가 힘듭니다. 이래서 통계학의 주류 중의 주류인 최소불편추정량을 찾는 것이 현실에서는 힘들다는 것이죠.

 

 

그래서 c 뒤에 -0.5*시그마제곱을 첨가해야 된다는 것이죠.

 

 

함수를 붙일 경우 이 함수의 기댓값이 어떻게 달라지는지는 Jensen 부등식이라는 유명한 부등식 정리가 있습니다. 이 부등식 정리은 꼭 알아야 하는 정리입니다. 구글에서 검색해서 알아보시기 바랍니다. 이해하기는 매우 쉬운 부등식입니다.

 

 

 

뒤에 나오는 이상한 항은 주식가격의 미분방정식을 ito 적분으로 푸는 과정에서 나오는 항입니다. 여기서는 이론의 완결성이 있다는 것이죠. 즉 주식가격이라는 시스템을 미분방정식으로 만들고 여기에 이론적으로 적분한 ito 적분을 한 것이죠. 그 과정에서 이론적으로 나온 항일 뿐입니다. 물론 이 이론들이 현실의 주가를 잘 설명하는 모형이라는 것은 또 다른 이야기고요.

 

 

흔히 주식의 변화를 로그를 취해서 많이들 봅니다. 그래서 주식가격을 log 취하면 직선 모양에 가깝게 됩니다. 그럼 이 직선의 기울기는 c-0.5시그마제곱이 되겠죠. 즉

 

 

직선의 기울기=c-0.5시그마제곱

 

 

 

여기서 시그마 값만 알면 주식의 평균 수익률 c를 어느 정도 추정할 수 있겠고요.

 

 

마팅게일은 원래 게임에서 나오는 용어입니다. 돈을 잃으면 다음 판에는 2배의 돈을 거는 전략을 마팅게일이라 합니다. 그러면 영원히 돈을 잃지 않겠지요. 그러나 현실에서는 적용 불가능 전략입니다. 왜냐하면 사람들이 가지고 있는 본전에서 한계가 있기 때문이죠.

 

 

확률 이론에서는 마팅게일은 fair 게임을 말합니다. 즉 현재 돈이 S원 있다면 다음 게임에서 기대되는 원금도 S원인 게임입니다. 다다음 게임도 기대되는 원금은 S원이 되겠죠. 다음판에 기대되는 원금이 지금 원금보다 크면 sub 마팅게일이라 하고 기대되는 원금이 더 작으면 super 마팅게일이라 합니다. 용어가 좀 이상하죠.

 

 

마팅게일은 다른 프로세스와 달리 분포 가정이 없기 때문에 매우 폭넓은 프로세스를 포함하고 있습니다. 또 마팅게일를 변환하면 또 마팅게일이나 sub, super 마팅게일이 되는 경우가 많습니다. 따라서 문제를 일일이 풀지 않고 이런 성질을 이용해서 간단하게 말로 증명할 수 있다는 것이죠.

 

 

다음은 조건부 기댓값으로 다시 돌아가 이것들의 현실적인 의미와 또 실제 구하는 방법 등을 간단히 설명하겠습니다.