이 문제의 이름은 정확하게 모르겠고요, 그래서 Money Problem이라고 부르죠.
문제는 다음과 같습니다.
두 개의 봉투에 지폐가 들어있습니다. 한 봉투에는 다른 봉투의 2배의 돈이 들어 있습니다. 만약 한 봉투에 a라는 돈이 들어 있으면 다른 쪽 봉투에는 2a 나 1/2a 돈이 들어 있겠죠.
정확한 돈 액수는 아무도 모릅니다.
A와 B 가 있다고 하죠. A가 봉투 하나를 가지고 B는 다른 봉투를 가지고요.
A가 자기가 가진 봉투를 가지고 열어보니까 a라는 돈이 들어 있었습니다. 그럼 A는 B와 봉투를 교환해야 할까요? 네. 교환해야 합니다.
왜냐하면 A의 봉투에 a라는 돈이 있으면 B의 봉투에는 2a 나 1/2a 의 돈이 들어 있을겁니다. 우리가 특별한 지식이 없는 이상 2a일 가능성이나 1/2a 일 가능성은 각각 1/2입니다. 따라서 B와 교환해서 A가 기대되는 돈은
(2a*0.5)+(1/2a*0.5)=1.25a 가 됩니다. 즉 처음 a에서 1.25a로 기대값이 올라가는 것이죠.
대칭에 의해 B도 마찬가지겠지요. A와 바꾸면 자기가 가진 돈에서 1.25배 기대되겠죠. 그럼 두 사람이 봉투만 바꾸기만 하면 돈이 마구 올라갑니다.
더구나 봉투를 열어볼 필요조차도 없습니다. A가 열어본 돈 a의 값하고 결과는 아무런 관계도 없습니다. 돈 액수가 얼마든, 바꾸기만 하면 그 돈의 1.25배가 기대된다는 것이죠.
그래서 A와 B가 봉투를 열어보지도 않고 계속 교환하면 기대되는 돈은 한없이 커져 갑니다.
도대체 어디서 잘못 된 것일까요?